next up previous contents
Seguinte: Autocorrelação: Acima: Caso dos sinais periódicos Anterior: Definição:   Conteúdo

Espectro de potência:

visto que $s_1$ e $s_2$ são periódicos podemos escrevê-los como
\begin{displaymath}
s_1(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_1 (n\omega_0) e^{jn\omega_0 t}
\end{displaymath} (4-3.02)


\begin{displaymath}
s_2(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_2 (n\omega_0) e^{jn\omega_0 t}
\end{displaymath} (4-3.03)

com
\begin{displaymath}
C_1(n\omega_0)={1\over {T_0}} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} s_1(t) e^{-jn\omega_0 t}dt
\end{displaymath} (4-3.04)


\begin{displaymath}
C_2(n\omega_0)={1\over {T_0}} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} s_2(t) e^{-jn\omega_0 t}dt
\end{displaymath} (4-3.05)

onde utilizamos as decomposições (D-0.6) e (D-0.7). Podemos agora introduzir a expressão de $s_2^{\ast} (t-\tau)$ na equação (4-3.1) obtendo
\begin{displaymath}
r_{12}(\tau)={1\over T_0} \int_{t_1}^{t_1+T_0} s_1(t) [\sum_...
...{+\infty} C_2^{\ast} (n\omega_0) e^{-jn\omega_0 (t-\tau)}] dt,
\end{displaymath} (4-3.06)

fazendo a hipótese de que tanto o somatório como o integral convergem nos limites respectivos (o que impõe certas condições de regularidade no sinal $s_1(t)$ e no espectro $C_2(n\omega_0)$ ) podemos inverter a sua ordem obtendo
\begin{displaymath}
r_{12}(\tau)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_2^{\ast} (n\omega_...
...{1\over T_0} \int_{t_1}^{t_1+T_0} s_1(t) e^{-jn\omega_0 t} dt.
\end{displaymath} (4-3.07)

Nesta expressão o último integral é exactamente $C_1(n\omega_0)$ e portanto
\begin{displaymath}
r_{12}(\tau)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_2^{\ast} (n\omega_0) C_1(n\omega_0) e^{jn\omega_0 \tau}.
\end{displaymath} (4-3.08)

Definindo $P_{12}(n\omega_0)=C_1(n\omega_0) C_2^{\ast}(n\omega_0)$, temos que
\begin{displaymath}
r_{12}(\tau)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} P_{12}(n\omega_0) e^{jn\omega_0 \tau}.
\end{displaymath} (4-3.09)

À função $P_{12}(n\omega_0)$ chama-se o espectro de potência de intercorrelação entre os sinais $s_1$ e $s_2$.

Utilizando as equações de definição da série de Fourier complexa (D-0.6) e (D-0.7) podemos escrever a partir de (4-3.9)

\begin{displaymath}
P_{12}(n\omega_0)={1\over T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} r_{12}(\tau) e^{-jn\omega_0 \tau} d\tau,
\end{displaymath} (4-3.10)

que nos permite obter o espectro de potência de intercorrelação directamente a partir da função de correlação. Muito simplesmente podemos dizer que, segundo (4-3.10), $P_{12}(n\omega_0)$ é o espectro da função de intercorrelação $r_{12}(\tau)$. Inversamente podemos dizer que $r_{12}(\tau)$ é a representação temporal do espectro de potência de intercorrelação $P_{12}(n\omega_0)$, o que está expresso em (4-3.9). O conjunto de relações (4-3.9) e (4-3.10) constituem o teorema da correlação para as funções periódicas, i.e., constituem um caso particular do teorema de Wiener-Khintchine para as funções periódicas.

Como valor particular, se fizermos $\tau=0$ em (4-3.9) obtemos

\begin{displaymath}
r_{12}(0)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} P_{12}(n\omega_0),
\end{displaymath} (4-3.11)

i.e., o valor de correlação no ponto $\tau=0$ é igual à potência de intercorrelação total (em todo o espectro).

Figura 4.1: diagrama de transformadas tempo-frequência.
\includegraphics[height=60mm]{figs/transformadas.eps}


next up previous contents
Seguinte: Autocorrelação: Acima: Caso dos sinais periódicos Anterior: Definição:   Conteúdo
Sergio Jesus 2005-05-23