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Modulação por fase de impulsos
(phase shift keying - PSK)

Neste caso e, como o seu nome indica, será a fase e não a amplitude do impulso que variará de acordo com a sequência digital a transmitir. Assim o impulso de base escreve-se

$\displaystyle s_m(t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle {\rm Re}[g(t) e^{j2\pi(m-1)/M} e^{j2\pi f_c t}],$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle g(t) \cos [ 2\pi f_c t + {{2\pi}\over M}(m-1)],$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle g(t) \cos {{2\pi}\over M}(m-1) \cos 2\pi f_c t - g(t) \sin {{2\pi}\over M}(m-1) \sin 2\pi f_c t.$ (4-2.01)

Assim a fase $\theta_m$ da portadora pode tomar os $M$ valores, $\theta_m=2\pi(m-1)/M; m=1,\ldots,M$. Podemos notar, fazendo um cálculo análogo ao efectuado no caso da ASK, que cada um dos impulsos utilizados em PSK têm uma energia constante
$\displaystyle \mathcal{E}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_0^T s^2_m(t) dt,$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {1\over 2} \int_0^T g^2(t),$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {{\mathcal{E}_g}\over 2}.$ (4-2.02)

Utilizando (4-2.1) podemos notar que cada função de base pode ser representada como uma combinação linear de duas funções ortogonais $f_1(t)$ e $f_2(t)$, tais que
\begin{displaymath}
s_m(t) = s_{m1} f_1(t) + s_{m2} f_2(t),
\end{displaymath} (4-2.03)

onde
$\displaystyle f_1(t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \sqrt{2\over {\mathcal{E}_g}} g(t) \cos (2\pi f_c t),$ (4-2.04)
$\displaystyle f_2(t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle -\sqrt{2\over {\mathcal{E}_g}} g(t) \sin (2\pi f_c t),$ (4-2.05)

e finalmente, tomando como coordenadas as funções $f_1(t)$ e $f_2(t)$ podemos representar o sinal $s_m(t)$ como um vector ${\bf s}_m$ de coordenadas
$\displaystyle {\bf s}_m$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left[\sqrt{{\mathcal{E}_g}\over 2} \cos {{2\pi}\over M}(m-1) , \sqrt{{\mathcal{E}_g}\over 2} \sin {{2\pi}\over M}(m-1)\right],$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle [s_{m1} , s_{m2} ].$ (4-2.06)

Torna-se assim fácil compreender a representação dos impulsos de base num referencial ortonormado de acordo com a figura 4.1 para M=2, 4 e 8. Note-se que os símbolos atribuidos a cada ponto do espaço encontram-se distribuidos de tal forma a só mudar um bit entre pontos contíguos, com a intenção de minimizar o erro cometido (Gray coding).
Figura 4.1: diagrama de espaço de sinais para a modulação PSK.
\includegraphics[width=15cm]{figs/sinais-PSK.eps}
Da mesma forma que em ASK, em PSK, o erro entre dois níveis sucessivos depende da distância euclidiana entre dois pontos no plano, dada por
$\displaystyle d_{mn}^2$ $\textstyle =$ $\displaystyle \vert s_m - s_n \vert,$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \vert s_m\vert^2 + \vert s_n\vert^2 -2\vert s_m\vert \vert s_n\vert\cos(\theta_{mn})$  

e visto que $\vert s_m \vert =\sqrt{\mathcal{E}_g/2}$ e que o ângulo $\theta_{mn}$ entre os dois vectores $s_m$ e $s_n$ é dado por $\theta_{mn}=\theta_m - \theta_n = {2\pi/M}(m-1) - (2\pi/M)(n-1)=(2\pi/M)(m-n)$, então podemos escrever que
$\displaystyle d_{mn}^2$ $\textstyle =$ $\displaystyle {\mathcal{E}_g\over 2} + {\mathcal{E}_g\over 2} - 2 {\mathcal{E}_g\over 2} \cos [{{2\pi}\over M}(m-n)]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \mathcal{E}_g [1-\cos {{2\pi}\over M}(m-n)],$ (4-2.07)

onde o seu valor mínimo é obtido para sinais consecutivos $m=n+1$ de onde
\begin{displaymath}
d_{min} = \sqrt{\mathcal{E} \left( 1-\cos {{2\pi}\over M}\right)}.
\end{displaymath} (4-2.08)


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Sergio Jesus 2006-11-06