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Transformada de Laplace Inversa

A definição da Transformada de Laplace Inversa (TLI) foi dada em (4-2.8). A necessidade do cálculo da TLI é evidentemente a de permitir a obtenção da (ou das) função (ões) temporal (ais) resultado da análise complexa do circuito. Existem fundamentalmente duas formas de resolver (4-2.8): uma através da integração directa e outra através do reconhecimento da unicidade da TL. O primeiro método é geralmente extremamente trabalhoso pois implica o cálculo dos resíduos para cada pólo simples da função $F(s) e^{st}$ e para um determinado contorno no plano $s$ - este método apesar de ser bastante elegante não é quase nunca utilizado. Em vez disso, utiliza-se o segundo método que consiste em considerar que $f(t)$ e $F(s)$ formam um par único e por isso se ${\rm TL}[f(t)]=F(s)$ então temos que ${\rm TLI}[F(s)]=f(t)$. Por isso basta-nos colocar $F(s)$ sob uma forma cuja a função temporal é reconhecida. Em geral sob a forma da soma de vários termos que são transformadas de Laplace de funções temporais conhecidas para podermos dizer que o sinal temporal resultante $f(t)$ não é mais do que a soma dessas funções temporais.

Exemplos:

A) consideremos o caso da função simples,

\begin{displaymath}F(s) = 10 s^{-1},\end{displaymath}

portanto $f(t) = 10 u(t)$, porque já tinhamos visto que ${\rm TL}[u(t)]=1/s$.

B) ou o caso da função

\begin{displaymath}G(s) = {{e^{-s}}\over {s+2}},\end{displaymath}

onde, sabendo que a TL de um atraso puro é

\begin{displaymath}\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-1) e^{-st}dt = e^{-s},\end{displaymath}

e que

\begin{displaymath}\int_0^{\infty} e^{-2t} e^{-st}dt = {1\over {s+2}},\end{displaymath}

podemos deduzir que

\begin{displaymath}f(t) = e^{-2(t-1)} u(t-1).\end{displaymath}

No caso de funções mais complexas (frequentes na prática) torna-se difícil identificar os inversos por observação directa. Na maior parte dos casos trata-se de frações racionais complexas e a sua inversão passa pela decomposição em termos simples cujos inversos sejam conhecidos, como por exemplo, a função

\begin{displaymath}F(s) = {{(2s+2)}\over {s^2 + 7s + 12}},\end{displaymath}

que se pode decompor em fracções simples como

\begin{displaymath}F(s) = {{(2s+2)}\over {s^2 + 7s + 12}} = {{A_1}\over {s+3}} + {{A_2}\over {s+4}},\end{displaymath}

onde os coeficientes $A_1$ e $A_2$ podem ser determinados multiplicando ambos os termos da equação anterior por $s+3$ e fazendo $s=-3$ e $s+4$ e fazendo $s=-4$, respectivamente. Obtendo-se neste caso $A_1=-4$ e $A_2=6$. A partir deste valores podemos então escrever que

\begin{displaymath}f(t) = [-4e^{-3t} + 6e^{-4t}]u(t),\end{displaymath}

que é o resultado esperado. Existem várias técnicas de cálculo para a decomposição de fracções racionais que deixamos ao cuidado do leitor, mediante uma atenta revisão do programa da disciplina de Análise Matemática.


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Sergio Jesus 2003-09-23