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Sinais de excitação e a família dos impulsos

Antes de abordar a definição da Transformada de Laplace convém começar por definir determinados tipos de sinais de excitação normalmente utilizados no estudo de sistemas lineares que constituem o que é normalmente designado de ''família dos impulsos''. A família dos impulsos são utilizados para representar o funcionamento não linear de interruptores. Comecemos por considerar o sinal representado na figura 4.1.

Figura 4.1: degrau unidade.
\includegraphics[width=8cm]{figs/fig4-1.eps}

Trata-se da função degrau unidade cujo símbolo usual é $u_{-1}(t)$ ou simplesmente $u(t)$ e é definida por

\begin{displaymath}
u_{-1}(t) = \cases{1, & $t > 0$\cr 0 & $t < 0$\cr}
\end{displaymath} (4-1.01)

é o caso típico de uma função que visa representar o funcionamento descontínuo, por exemplo, de um interruptor. Em geral, qualquer função com um número finito de descontinuidades pode ser representada por uma soma de funções degrau unidade devidamente ponderadas e atrasadas ou adiantadas como exemplifica a figura 4.2.

Figura 4.2: decomposição de uma função descontínua.
\includegraphics[width=12cm]{figs/fig4-2.eps}

neste exemplo a função temporal $f(t)$ pode ser formada por

\begin{displaymath}
f(t) = A_1 u_{-1}(t-t_1) - (A_1-A_2) u_{-1}(t-t_2)
\end{displaymath} (4-1.02)

Por integração da função degrau unidade obtem-se a função $u_{-2}(t)$ definida por

\begin{displaymath}
u_{-2}(t) = \int_0^t u_{-1}(\tau) d\tau = t u_{-1}(t)
=\cases{t & $t > 0$\cr 0 & $t < 0$ \cr}
\end{displaymath} (4-1.03)

à qual se chama rampa unitária e que está representada na figura 4.3.

Figura 4.3: rampa unitária.
\includegraphics[width=8cm]{figs/fig4-3.eps}

A generalização do conceito de integração exposto na passagem do degrau unitário à rampa unitária leva ao integral de ordem $n$

\begin{displaymath}
u_{-n}(t) = \Bigl[{{t^{n-1}}\over {(n-1)!}}\Bigr] u_{-1}(t)\qquad
n=2,3,\ldots
\end{displaymath} (4-1.04)

Existe ainda um último tipo de excitação impulsiva, que é chamado impulso de Dirac e que se reveste de particular importância na análise de regimes transitórios. O impulso de Dirac (ou simplesmente Dirac) obtem-se não pela integração da função degrau unidade mas sim pelo processo inverso ou seja a sua derivação

\begin{displaymath}
u_0(t) = {{du_{-1}(t)}\over {dt}},
\end{displaymath} (4-1.05)

a notação usual para o Dirac é $\delta(t) = u_0(t)$. Evidentemente, o cálculo feito em (4-1.5) não é possível em análise tradicional, pois sendo a função degrau unidade uma função descontínua a sua derivada não existe. Portanto o Dirac, derivada do degrau unidade, é uma função sempre nula salvo para a origem onde toma uma valor infinito. Em termos rigorosos o Dirac sai da definição clássica de função e a sua definição requer a introdução da noção de função generalizada, ou distribuição, que ultrapassa largamente o âmbito desta disciplina. Assim, para introduzirmos a noção física do Dirac consideremos a figura 4.4.

Figura 4.4: família de impulsos como casos limite.
\includegraphics[width=12cm]{figs/fig4-4.eps}

Nesta figura podemos observar uma função $f(t)$ e a sua derivada $g(t)$. Quando fazemos $\Delta$ tender para 0 estas duas funções tendem respectivamente para a função degrau unidade e para o Dirac desenhados à direita.


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Sergio Jesus 2003-09-23