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Exemplos

Exemplo 1: considere o circuito da figura 3.14:

Figura 3.14: exemplo de aplicação: $R_1=100\Omega$, $R_2=300\Omega$, $R_3=100\Omega$, $R_L=200\Omega$, E=10 V, J=1 A.
\includegraphics[width=8cm]{figs/fig3-7.eps}

Comecemos por aplicar o teorema de sobreposição segundo o qual poderemos dizer que a corrente na carga $R_L$ é $i=i_J + i_E$ devido às contribuições separadas da fonte de tensão $E$ e da fonte de corrente $J$. Temos portanto os esquemas representados em 3.15(a) e 3.15(b) respectivamente. Utilizando o divisor de tensão na figura 3.15(a) temos que $i_E R_L = (R_2//R_L) E/[R_1+(R_2//R_L)]$ ou seja $i_E=27.3$ mA. Utilizando agora o divisor de corrente na figura 3.15(b) temos que $i_J= - (R_1//R_2) J/[R_L+(R_1//R_2)]$, i.e., $i_J = - 272.7$ mA, e o teorema de sobreposição diz-nos que

\begin{displaymath}i = i_E + i_J = - 245 {\rm mA}.\end{displaymath}

Para poderemos verificar este resultado de forma simples vamos calcular o gerador de Thevenin equivalente entre A e B. Para começar podemos calcular o gerador de Thevenin visto entre os pontos C e D da figura 3.14 e obter a tensão de Thevenin $E'$ pelo divisor de tensão

Figura 3.15: teorema de sobreposição.
\includegraphics[width=12cm]{figs/fig3-8.eps}


\begin{displaymath}E' = {{300\times10}\over {300+100}} = 7.5 v,\end{displaymath}

e a resistência $R'$

\begin{displaymath}R' = 100//300 = 75 \Omega,\end{displaymath}

e portanto o esquema equivalente da figura 3.16.

Figura 3.16: esquema da figura 3.14 simplificado.
\includegraphics[width=8cm]{figs/fig3-9.eps}

Óbviamente fazendo o cálculo da tensão de Thevenin entre A e B estes dois pontos estarão em aberto e teremos que a corrente que circulará na única malha do circuito será igual a $J=1$ A. Nesse caso a queda de tensão em $R'$ será de $R' J$ = 75 v e a tensão medida entre A e B tendo em conta o sentido de circulação de $J$ é $V_{th} = E' - R' J = -67.5$ v. A resistência de Thevenin é neste caso $R_{th} = R' = 75 \Omega$ e portanto temos finalmente o circuito equivalente da figura 3.17

Figura 3.17: circuito de Thevenin equivalente.
\includegraphics[width=8cm]{figs/fig3-10.eps}

da qual se tira fácilmente a corrente $i$ atravessando $R_L$ como sendo

\begin{displaymath}i = {{V_{th}}\over {R_{th}+R_L}} = {{-67.5}\over {275}} = -245 {\rm mA},\end{displaymath}

idêntico ao valor já calculado anteriormente. Utilizando o teorema de Norton, podemos partir da figura 3.16 da qual calculamos a corrente en curto-circuito entre A e B, $I_N$ como representado na figura 3.18(a). Observando com atenção esta figura determinamos que $i' = J + I_N$ e que $i' = 7.5 / 75 = 0.1$ A. Deste modo determinamos $I_N = -0.9$ A. $R_{th}$ tem evidentemente o mesmo valor de 75 $\Omega$ e obtemos o circuito de Norton equivalente da figura 3.18(b)

Figura 3.18: circuito simplificado (a) e Norton equivalente (b).
\includegraphics[width=10cm]{figs/fig3-11.eps}

de onde o divisor de corrente nos permite obter directamente o valor de $i = R_{th} I_N/(R_{th}+R_L) = -245 $ mA.

Exemplo 2: dado o circuito da figura 3.19, determine $v_4$ e $i_4$: a) utilizando o teorema de Thevenin e b) utilizando o teorema de Norton.

Figura 3.19:
\includegraphics[width=8cm]{figs/ftd5-2.eps}

a) a resistência equivalente de Thevenin, $R_{th}$ calcula-se desligando a fonte de tensão, i.e., substituindo-a por um curto-circuito e calculando a resistência equivalente "vista" entre A e B que se escreve

\begin{displaymath}R_{th} = 1//2 + 4//2 = {2\over 3} + {8\over 6} = 2 \Omega\end{displaymath}

A tensão equivalente de Thevenin, $V_{th}$ determina-se colocando o circuito em vazio, i.e., retirando a resistência de 1 $\Omega$ onde passa $i_4$ e considerando que a corrente que sai por A é zero. Assim podemos escrever que a corrente $i$ que sai da fonte é igual à corrente $i_1$ que passa pelas resistências de $1 \Omega$ e $2 \Omega$ do lado esquerdo, mais a corrente $i_2$ que passa pelas resistências de $4 \Omega$ e $2 \Omega$ do lado direito.

\begin{displaymath}i = i_1 + i_2\end{displaymath}

sabendo que $i$ pode ser calculado como

\begin{displaymath}i = {{6}\over {R_{eq}}}\end{displaymath}

onde $R_{eq}$ é a resistência equivalente ao total

\begin{displaymath}R_{eq} = (1+2)//(4+2) = 2 \Omega\end{displaymath}

deduzimos que $i=6/2=3$ A. Utilizando o divisor de corrente

\begin{displaymath}i_1 = {{4+2}\over {(4+2)+(1+2)}} i = 2 {\rm A}\end{displaymath}

e por subtração $i_2 = i - i_1 = 3-2=1$ A. Finalmente podemos calcular $V_{th}$,

\begin{displaymath}V_{th} = V_A - V_B = 2 i_1 - 2 i_2 = 4-2=2 {\rm v}\end{displaymath}

A figura 3.20 mostra o circuito de Thevenin equivalente, de onde podemos escrever que

\begin{displaymath}v_4 = 2/3 {\rm v} \qquad i_4=v_4/1 = 2/3 {\rm A}\end{displaymath}

Figura 3.20: circuito de Thevenin equivalente.
\includegraphics[width=8cm]{figs/fex-2.eps}

b) para calcular o equivalente de Norton basta saber que a resistência equivalente é a mesma que no caso Thevenin e o valor do gerador de corrente $I_N$ é dado pela corrente em curto circuito entre A e B. Visto que A e B estão ao mesmo potencial podemos escrever que a tensão $v_2$ aos bornos das resistências de 2 $\Omega$ é dado pelo divisor de tensão

\begin{displaymath}v_2 = {{2//2 \times 6}\over {2//2+1//4}} = 30/9=3.33 {\rm v}\end{displaymath}

e então a tensão $v_1$ aos bornos da resistência de 4 e 1 $\Omega$ é dada por $v_1 = 6 - v_2=2.66$ v. A partir daí$ $ basta determinar a corrente $i_1$ na resistência de 1 $\Omega$ $i_1=2.66/1=2.66$ A, enquanto que a corrente $i_2$ na resistência de 2 $\Omega$ é dada por $i_2=v_2/2=3.33/2=1.66$ A escrever a lei dos nós tal que

\begin{displaymath}I_N = i_1 - i_2 = 2.66 - 1.66 = 1 {\rm A}\end{displaymath}

O circuito de Norton equivalente é dado na figura 3.21

Figura 3.21: circuito de Norton equivalente.
\includegraphics[width=8cm]{figs/fex-3.eps}

Óbviamente $v_4=1 \times 2//1 = 2/3$ v e $i_4 = v_4/ 1 = 2/3$ A, mesmo resultado que em a).

Exemplo 3: dado o circuito da figura 3.22, calcule o valor da resistência $R_L$ para que as fontes libertem potência máxima em $R_L$. Calcule também o valor dessa potência máxima ( $R_1=20 \Omega, R_2=5 \Omega$).

Figura 3.22: circuito Exemplo 3.
\includegraphics[width=8cm]{figs/ftd5-3.eps}

Vamos, por exemplo, começar por determinar o gerador de Thevenin equivalente visto aos terminais de $R_L$. Segundo a definição o gerador $V_{th}$ é a tensão medida aos bornos de $R_L$ em vazio. Assim, retirando $R_L$ o circuito resume-se a uma única malha na qual podemos calcular a corrente $i$ que circula,

\begin{displaymath}i = {{140-90}\over {R_1+R_2}} = 2 {\rm A}\end{displaymath}

a partir da corrente podemos calcular a queda de tensão, por exemplo aos bornos de $R_2$ e consecutivamente a tensão $V_{th}$,

\begin{displaymath}V_{th}=90 + 2\times 5=100 {\rm v}\end{displaymath}

por outro lado $R_{th}$ é

\begin{displaymath}R_{th} = 5//20 = 4 \Omega\end{displaymath}

O circuito equivalente encontra-se na figura 3.23

Figura 3.23: circuito de Thevenin equivalente ao da figura 3.22.
\includegraphics[width=8cm]{figs/fex-4.eps}

Segundo foi demonstrado durante a aula teórica a potência máxima é libertada em $R_L$ quando $R_L=R_{th}=4\Omega$. No caso em que $R_L = R_{th}$ o valor da potência máxima é dado por $P_{\rm max}=i v$ onde

\begin{displaymath}i={{V_{th}}\over {R_{th}+R_L}} = {{100}\over {8}}=12.5 {\rm A}\end{displaymath}

e através do divisor de tensão

\begin{displaymath}v=V_{th}{{R_{th}}\over {R_{th}+R_L}}=50 {\rm v}\end{displaymath}

e $P_{\rm max}=625$ W.

Exemplo 4: Calcule

a)
calcule o equivalente de Norton do circuito da figura 3.24 entre A e B.
b)
calcule a potência máxima que poderia ser fornecida a uma resistência $R$ colocada entre A e B
c)
que valor deverá ter $R$ para a potência ser máxima

Figura 3.24: circuito Exemplo 4.
\includegraphics[width=8cm]{figs/ftd5-6.eps}

a) comecemos pela resistência equivalente $R_{th} = 6//3 = 2 \Omega$. Agora para a corrente de Norton $I_N$ no curto circuito entre A e B podemos fazer utilizando o teorema de sobreposição

\begin{displaymath}I_N = I_{\rm N1-fonte de corrente} + I_{\rm N2-fonte de tensao}\end{displaymath}

para $I_{N1}$ temos o circuito da figura 3.25(a) uma vez que desligada a fonte de tensão ou ainda o circuito da figura 3.25(b) visto que a resistência de 12$\Omega$ se encontra curto circuitada.

Figura 3.25: circuitos simplificados do da figura 3.24: desligando a fonte de tensão (a) e simplificando a resistência de 12 $\Omega$ (b).
\includegraphics[width=12cm]{figs/fex-5.eps}

A partir da figura 3.25(b) podemos dizer que $i_3=0$ e portanto que $I_{N1}=i_2$ e através do divisor de corrente

\begin{displaymath}I_{N1} = i_2 = {{2\times 18}\over {2+1}} = 12 {\rm A}\end{displaymath}

Para $I_{N2}$ devemos desligar, i.e., substituir por um circuito aberto, o gerador de corrente de 18 A obtendo assim o circuito da figura 3.26(a),

Figura 3.26: circuitos simplificados do da figura 3.24: desligando a fonte de corrente (a) e simplificando as resistências de 1 e 2 $\Omega$ (b).
\includegraphics[width=12cm]{figs/fex-6.eps}

mas como as resistências de 1$\Omega$ e 2$\Omega$ se encontram curto circuitadas podemos deduzir o esquema equivalente da figura 3.26(b). Deste último podemos escrever directamente $I_{N2}=12/6=2$ A. Daí$ $ que $I_N=12+2=14$ A, obtendo o circuito de Norton equivalente da figura 3.27.

Figura 3.27: circuito de Norton equivalente.
\includegraphics[width=8cm]{figs/fex-7.eps}

b) a potência debitada numa resistência $R$ colocada entre A e B é $P = R i^2$ onde a corrente $i$ pode ser calculada através do divisor de corrente

\begin{displaymath}i = {{2\times 14}\over {2+R}}\end{displaymath}

e então a potência

\begin{displaymath}P = {{R 28^2}\over {(2+R)^2}}\end{displaymath}

c) a potência máxima obtem-se quando $R=R_{th}=2\Omega$, substituindo na relação anterior temos $P_{\rm max}=98$ W.


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Sergio Jesus 2003-09-23