Orlando Camargo Rodríguez

Cálculo Vectorial

ij = k ji = -k ij = -ji
	Sir William	Josiah Willard
	Rowan Hamilton	Gibbs
	(1805-1865)	(1839-1903)

Introdução histórica
Definição de vectores
Operações que se podem realizar com vectores
Representação de vectores

1. Introdução histórica

${\gothic O}$ s termos vector e escalar foram introduzidos pelo matemático irlandês Sir William Rowan Hamilton num encontro organizado pela Royal Irish Academy em Novembro de 1844. O conceito de vector tinha sido desenvolvido por Hamilton como parte da sua teoria geral dos Quaterniões, os quais representavam uma extensão do campo dos números complexos ao caso tridimensional. No entanto Hamilton parecia não se sentir completamente satisfeito com o termo vector, uma vez que nos seus trabalhos posteriores sobre os Quaterniões introduziria diferentes designações para o mesmo conceito, nomeadamente: vectum, vehend, revector, provector, provectum, transvehend e transvectum. Felizmente, para a posteridade da qual fazemos parte, o físico norte-americano Josiah Willard Gibbs popularizaria muitos dos conceitos desenvolvidos por Hamilton, expondo-os de forma bastante sistemática no seu livro Elementos de Análise Vectorial (1881), onde se limitaria à utilização do termo vector.

2. Definição de Vectores

Um vector é uma grandeza caracterizada pelas seguintes propriedades:

Um módulo,(ou intensidade, ou magnitude), que representa o comprimento do vector.
Uma direcção , que indica a linha de acção do vector.
Um sentido, já que em cada direcção existem dois sentidos possíveis.

Intuitivamente é possível afirmar que um vector pode ser representado como uma seta. Regra geral as quantidades vectoriais costumam ser representadas na forma:

u, v, a, ... ,

enquanto que se usa a seguinte notação para os seus módulos:

u, v, a, ... ,

|u|, |v|, |a|, ... .

Comentários

Os vectores têm as mesmas unidades que os seus módulos: [u] = [u].
Em Álgebra Linear o módulo de um vector é denominado por norma do vector e é representado pelo símbolo ||...||.
Exemplos de vectores em Física são a velocidade, a aceleração, a força, o momento (ou torque) de força, o momento linear (ou impulso, ou quantidade de movimento), o momento angular de um corpo.

3. Operações que se podem realizar com vectores

Nalguns casos um determinado vector pode ser deslocado do seu ponto de aplicação, conservando, evidentemente, o seu módulo, direcção e sentido. Trata-se de um vector livre. A operação correspondente ao deslocamento de um vector livre é designada de deslocamento paralelo.
Projecção sobre um eixo arbitrário (ver Fig.1).

Figura 1: o vector OQ representa a projecção do vector Ov ao longo da linha OP; arraste o ponto P ou o ponto v para mudar a projecção original do vector.

Multiplicação (e portanto divisão) por um escalar. É importante assinalar que, associado a cada vector $\mbox{$\mathbf{u}$}$ , pode construir-se o vector $\mbox{\boldmath$\tau$}= \mbox{$\mathbf{u}$}/ \left\vert \mbox{$\mathbf{u}$} \right\vert$ , sendo evidente que $\left\vert \mbox{\boldmath$\tau$} \right\vert$ = 1. Os vectores assim construídos são denominados unitários ou versores. Pode-se então introduzir, num sistema cartesiano tridimensional de referência, os versores dos eixos , e . Esses versores costumam ser representados da seguinte forma:
$\mbox{$\mathbf{i}$}, \mbox{$\mathbf{j}$}, \mbox{$\mathbf{k}$}\;$ ou $\; \hat i, \hat j, \hat k \;$ ou $\; \mbox{$\mathbf{u}$}_x, \mbox{$\mathbf{u}$}_y, \mbox{$\mathbf{u}$}_z \;$ ou $\; \mbox{$\mathbf{e}$}_x, \mbox{$\mathbf{e}$}_y, \mbox{$\mathbf{e}$}_z \;$ .
Soma de vectores: O método gráfico utilizado para calcular a soma de dois vectores e é a regra do paralelogramo (ver Fig.2). O módulo do vector soma pode ser calculado pela seguinte relação: $\begin{displaymath} s = \left\vert \mbox{$\mathbf{a}$}+ \mbox{$\mathbf{b}$} \right\vert = \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\theta} \ , \end{displaymath}$
( representa o ângulo entre os vectores e ). Esta fórmula é denominada lei do co-seno. Outra regra que permite calcular consiste em deslocar paralelamente um dos dois vectores, de maneira que a extremidade do vector fixo coincida com a origem do vector deslocado. A soma vectorial corresponde ao vector que liga a origem do vector fixo com a extremidade do vector deslocado.

Figura 2: regra do paralelogramo; arraste o ponto a ou o ponto b para visualizar o vector soma, assim como o paralelogramo formado pelos vectores iniciais.
Comentários:
- A soma de vectores é uma operação comutativa: $\mbox{$\mathbf{a}$}+\mbox{$\mathbf{b}$}= \mbox{$\mathbf{b}$}+\mbox{$\mathbf{a}$}$ .
- Para os ângulos do triângulo formado pelos 3 vectores (ver Fig.3) é válida a lei dos senos:
  $\begin{displaymath} \frac {s}{\sin \theta} = \frac {a}{\sin \alpha} = \frac {b}{\sin \beta} \ . \end{displaymath}$
Figura 3: lei dos senos; arraste o ponto a ou o ponto s para verificar a validade da igualdade.

Produto Interno: o produto interno de dois vectores é um escalar (positivo ou negativo) definido como
$\begin{displaymath}\mbox{$\mathbf{a}$}\cdot \mbox{$\mathbf{b}$}= ab\cos \theta \ . \end{displaymath}$
Comentários:
- O produto interno de vectores é comutativo: $\mbox{$\mathbf{a}$}\cdot\mbox{$\mathbf{b}$}= \mbox{$\mathbf{b}$}\cdot\mbox{$\mathbf{a}$}$ .
- O produto interno de dois vectores perpendiculares entre si é igual a zero.
- A definição de produto interno permite demonstrar que
  
  e_x·e_x = e_y·e_y = e_z·e_z = 1 e e_x·e_y = e_x·e_z = e_y·e_z = 0 .
Figura 4: produto interno de vectores; arraste o ponto a ou o ponto b para ver o valor do produto interno entre os vectores a e b.
Produto Externo: o produto externo de dois vectores é um vector definido como

$\begin{displaymath}\mbox{$\mathbf{a}$}\times \mbox{$\mathbf{b}$}= ab \sin \theta \mbox{\boldmath$\tau$}\ , \end{displaymath}$
onde τ é um versor, perpendicular a a e b e cujo sentido pode ser determinado por qualquer uma das seguintes regras:
- Do saca-rolhas: Sentido de progressão de um saca-rolhas quando se roda de a para b.
- Dos três dedos: Colocar o polegar da mão direita paralelo a $\mbox{$\mathbf{a}$}$ , o indicador paralelo a $\mbox{$\mathbf{b}$}$ . Então o sentido de $\mbox{\boldmath$\tau$}$ corresponde ao sentido do dedo médio, desde que disposto perpendicularmente aos vectores $\mbox{$\mathbf{a}$}$ e $\mbox{$\mathbf{b}$}$ .
- Da mão direita: Arqueando os quatro dedos da mão direita no sentido de $\mbox{$\mathbf{a}$}$ para $\mbox{$\mathbf{b}$}$ , $\mbox{\boldmath$\tau$}$ será paralelo ao sentido do polegar.
Comentários:
- O produto externo de vectores costuma ser igualmente representado como $\left[ \mbox{$\mathbf{a}$}\mbox{$\mathbf{b}$} \right]$ ou $\mbox{$\mathbf{a}$}\wedge\mbox{$\mathbf{b}$}$ .
- O produto externo de dois vectores é anti-comutativo: $\mbox{$\mathbf{a}$}\times\mbox{$\mathbf{b}$}= -\left( \mbox{$\mathbf{b}$}\times\mbox{$\mathbf{a}$} \right)$ .
- O produto externo de dois vectores orientados segundo a mesma direcção da um vector nulo.
- O módulo do produto externo de dois vectores corresponde à área do paralelogramo formado pelos dois vectores.
- As definições de produto interno e de produto externo permitem demonstrar que
  $\begin{displaymath}\mbox{$\mathbf{a}$}\cdot\left( \mbox{$\mathbf{a}$}\times\mbox... ...( \mbox{$\mathbf{a}$}\times\mbox{$\mathbf{b}$} \right) = 0 \ . \end{displaymath}$
- A definição de produto externo permite demonstrar que $\begin{displaymath} \mbox{$\mathbf{e}$}_x\times\mbox{$\mathbf{e}$}_y = \mbox{$\m... ...e}$}_z\times\mbox{$\mathbf{e}$}_x = \mbox{$\mathbf{e}$}_y \ . \end{displaymath}$

4. Representação de vectores

Representação polar: Um vector v encontra-se representado polarmente ( $\mbox{$\mathbf{v}$}= (v,\theta)$ ), quando se especifica o seu módulo , e o ângulo $\theta$ que $\mbox{$\mathbf{v}$}$ faz em relação a um eixo de coordenadas (geralmente o eixo , ver Fig.5(a)).
Representação cartesiana no plano: Um vector encontra-se representado em coordenadas cartesianas () quando são dadas as projecções do vector segundo os eixos e (ver Fig.5(b)). Neste caso ter-se-ia que $\begin{displaymath}v = \sqrt{v_x^2+v_y^2} \ , \end{displaymath}$ e utilizando os versores dos eixos e pode-se escrever igualmente que
$\begin{displaymath}\mbox{$\mathbf{v}$}= \mbox{$\mathbf{e}$}_x v_x + \mbox{$\mathbf{e}$}_y v_y \ . \end{displaymath}$
Os coeficientes e são denominados componentes do vector .
Comentários:
- O produto interno de dois vectores $\mbox{$\mathbf{u}$}$ e $\mbox{$\mathbf{v}$}$ , representados no plano em coordenadas cartesianas ( $\mbox{$\mathbf{u}$}= \mbox{$\mathbf{e}$}_x u_x + \mbox{$\mathbf{e}$}_y u_y, \mbox{$\mathbf{v}$}= \mbox{$\mathbf{e}$}_x v_x + \mbox{$\mathbf{e}$}_y v_y$ ), corresponde a:
  $\begin{displaymath}\mbox{$\mathbf{u}$}\cdot\mbox{$\mathbf{v}$}= v_xu_x + v_yu_y \ . \end{displaymath}$
- Para passar da representação polar à representação cartesiana no plano (e viceversa) podem ser utilizadas as seguintes relações:
  
  $\begin{displaymath} v_x = v \cos \theta \ , \ v_y = v \sin \theta \hskip5mm\mak... ...skip5mm v = \sqrt{v_x^2+v_y^2} \ , \ \tan\theta = v_y/v_x \ . \end{displaymath}$
- Os versores $\mbox{$\mathbf{e}$}_r$ e $\mbox{$\mathbf{e}$}_{\theta}$ , definidos como $\begin{displaymath} \mbox{$\mathbf{e}$}_r = \mbox{$\mathbf{e}$}_x\cos\theta + \m... ...ox{$\mathbf{e}$}_x\sin\theta + \mbox{$\mathbf{e}$}_y\cos\theta \end{displaymath}$
  (ver Fig.7) denominam-se versores das coordenadas polares.


(a)	(b)

Figura 6: Representação polar (caso (a)) e cartesiana (caso (b)) do vector $\mbox{$\mathbf{v}$}$ .

Figura 7: Representação de vectores no plano: versores das coordenadas cartesianas e_x, e_y, e versores das coordenadas polares e_r, e_θ.

Representação cartesiana no espaço: Por analogia com a representação cartesiana no plano podemos escrever que $\begin{displaymath}\mbox{$\mathbf{v}$}= \mbox{$\mathbf{e}$}_x v_x + \mbox{$\mathbf{e}$}_y v_y + \mbox{$\mathbf{e}$}_z v_z \ , \end{displaymath}$ onde $\begin{displaymath}v =\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \ . \end{displaymath}$ As quantidades $\begin{displaymath} \cos \theta_x = \frac {v_x}{v} \; , \; \cos \theta_y = \fra... ...{v} \; , \; \makebox{ e } \cos \theta_z = \frac {v_z}{v} \ , \end{displaymath}$ são denominadas co-senos directores do vector .
Comentários:
- O produto interno de dois vectores $\mbox{$\mathbf{u}$}$ e $\mbox{$\mathbf{v}$}$ , representados no espaço em coordenadas cartesianas ( $\mbox{$\mathbf{u}$}= \mbox{$\mathbf{e}$}_x u_x + \mbox{$\mathbf{e}$}_y u_y + \m... ...box{$\mathbf{e}$}_x v_x + \mbox{$\mathbf{e}$}_y v_y + \mbox{$\mathbf{e}$}_z v_z$ ), corresponde a:
  $\begin{displaymath}\mbox{$\mathbf{u}$}\cdot \mbox{$\mathbf{v}$}= u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z \ . \end{displaymath}$
- O produto externo de dois vectores u e v representados no espaço em coordenadas cartesianas pode ser calculado através do determinante:
  
  u×v =
  
  e_x e_y e_z
  
  u_x u_y u_z
  
  v_x v_y v_z
  
  .
  
  (consulte a Fig.8 para visualizar graficamente o produto externo entre dois vectores).
  
  Figura 8: produto externo de vectores; use os sliders para especificar as componentes dos vectores u e v (setas verdes)
  e visualizar o seu produto externo (seta vermelha); os sliders α e β permitem controlar a perspectiva da figura.

Orlando Camargo Rodríguez, 28/07/2009

Todos os gráficos interactivos foram criados com recurso à livraria JSXgraph.