Formato
da apresentação
A estrutura da apresentação é informal, no sentido em que
os formalismos matemáticos subjacentes a cada método serão
apresentados de forma minimalista, dando-se mais realce aos princípios
de funcionamento, objectivos, e à sua aplicação prática. Os alunos
interessados poderão consultar a bibliografia indicada para melhor
fundamentação dos métodos.
A apresentação é feita recorrendo à apresentação de
problemas genéricos, indicando-se algumas abordagens usadas na sua
resolução. Os alunos deverão perceber que não há soluções únicas
para cada problema e que os métodos de complementam e intersectam.
Antes de prosseguir convém estabelecer as
diferenças fundamentais entre determinismo e aleatoriedade.
Determinismo é o conceito filosófico de que todo o acontecimento
físico, incluindo o conhecimento humano e a acção, é determinado por
um princípio de causalidade através de uma cadeia contínua de
acontecimentos. Assim, nunca podem ocorrer acontecimentos aleatórios
(no sentido de não previstos). A ideia de que o universo é
determinístico fez parte da religião, filosofia, e literatura nas
civilizações ocidentais e noutras, normalmente associado ao conceito
de “destino”, ou do tão conhecido “fado”. Os primeiros
filósofos que pensaram sobre a relatividade das decisões
(Protágoras), carácter determinístico de todas as decisões
(Sofistas), e a incerteza sobre tudo (Carnéades de Cireno), basearam a
sua apreciação de aleatoriedade no senso comum e na incerteza
associada às decisões humanas. O último filósofo chegou mesmo a
advogar a incerteza como princípio de vida, dando as suas prelecções
aos alunos sobre temas escolhidos ao acaso, variando o tema de dia para
dia. Na cultura oriental o princípio de determinismo está, até certo
ponto, contido na religião Budista, expressa na doutrina da origem
dependente, segundo a qual (de uma forma simplista) todos os
acontecimentos se encadeiam e relacionam – não sendo portanto
aleatórios.
No Hinduísmo, e considerando a escola de pensamento mais
conhecida, a Advaita Vedanta, o princípio de determinismo aparece
também nos conceito do Eu Divino, eterno e luminoso, central, apesar do
caos e dinâmica em torno dele.
O determinismo está também associado à física
Newtoniana,
que advoga que o universo se rege por um conjunto limitado de leis (passíveis
de virem a ser totalmente conhecidas). No entanto, os desenvolvimentos
na física quântica nos anos 20 do século XX, devidas
principalmente a Erwin Schrödinger e Werner
Heisenberg, vieram
mostrar que o princípio do determinismo em ciência não era universal,
e que à escala do átomo a física Newtoniana não é aplicável. Esta
nova abordagem da física é designada de quântica, e segundo ela um
electrão é uma onda e não uma partícula. Se se realizar uma experiência
para determinar a posição da partícula, então encontra-se algo
parecido a uma partícula, mas realizando várias observações não se
encontrará a partícula no mesmo local, ainda que a onda seja estacionária
e portanto os electrões (onda) não se desloquem (bizarro, não é?). A
onda transporta a informação quanto à posição provável do
electrão.
Nesta teoria o princípio da incerteza é intrínseco à natureza do
fenómeno. Coloca-se, então a dúvida de se haverá outras realidades em que
observações de carácter aleatório sejam o resultado de uma natureza
com algum tipo de organização.
A
incerteza associada a séries temporais está presente em praticamente
todas as observações de fenómenos naturais. Vejam-se as figuras
abaixo onde são apresentadas séries temporais recolhidas em variáveis
aleatórias diferentes, mas onde a componente “aleatória” está
sempre presente.
Fig.
Oscilação do nível médio do mar no Atlântico Norte. Modelo simples
linear ajustado aos dados. (SIAM,2005)
Fig.
Séries temporais de temperatura globais – hemisfério Norte (SIAM,
2005)
Fig.
Séries temporais de temperatura em Portugal (SIAM, 2005)
Fig.
Variação temporal da massa e quantidade relativa de espécies pelágicas
e bentopelágicas no Atlântico Norte (SIAM, 2005)
Fig.
Resistividade eléctrica no aquífero do Escarpão (Nunes, 1998)
O
tratamento desta variabilidade é bem enquadrada no contexto da
modelação estocástica, em que se incluem os modelos de cadeias de
Markov para séries temporais discretas e contínuas, campos aleatórios
de Markov, processos pontuais, e movimento Browniano e difusão.
Ainda
no tratamento de séries temporais (a sua extrapolação para outras
dimensões, normalmente 2D e 3D, é possível em muitos dos métodos)
podem referir-se três abordagens alternativas:
i)
Métodos determinísticos;
ii) Modelos
estatísticos (ou estocásticos, ou probabilísticos);
iii)
Heurísticas
Nos
métodos determinísticos a
incerteza é inexistente, ou com variabilidade controlada de tal forma
que não deve alterar a qualidade da previsão; nos modelos
estatísticos a variabilidade é tratada como uma variação em torno de valores
centrais, não
relacionada com o valor da variável (princípio de ergocidade e da
independência do erro), de causas indeterminadas, e sem relação com o
fenómeno em estudo. Desta forma a aleatoriedade não fornece qualquer
informação relevante para a compreensão do fenómeno, para além da
incerteza associada aos dados analisados. Estes métodos podem levar a
perdas importantes da informação contida nas observações, uma vez
que procuram retirar apenas as grandes variações, perdendo
eventualmente informação de detalhe que está contida nas
observações consideradas (nesta abordagem) como erráticas. Numa
imagem: seria como se ao ouvir uma música num equipamento de som de má
qualidade apenas se percebessem parte dos instrumentos e a melodia
principal, quando na realidade o “ruído” de fundo corresponderia
aos instrumentos e a partes da partitura que não foram ouvidos (no
sentido de percebidos).
Quando
se considera também a informação contida nos valores fora do
comportamento médio, então é possível compreender melhor o fenómeno
em estudo, e até prever o seu comportamento, ainda que possa não ser
possível obter modelos matemáticos que relacionem as variáveis observáveis.
É exemplo disto a análise de sistemas complexos, e/ou caóticos, em
que os algoritmos usados para a sua interpretação e previsão não são
passíveis de conversão em equações. Vejam-se, por exemplo, os métodos
de redes neuronais, que usa informação disponível para gerar soluções,
sem que seja necessário, ou possível, obter as equações de transferência
(o modelo é do tipo black-box). Quando os fenómenos em análise são
caóticos (e portanto não é possível conhecer a condição inicial,
ainda que se possam conhecer as equações que descrevem o comportamento
do sistema total, e se conheça o resultado final) o comportamento médio
observado do sistema não tem uma relevância particular. O
comportamento médio de sistemas caóticos pode até ser muito menos
importante do que os valores fora da média, uma vez que a estes podem
estar associados comportamentos catastróficos (sismos, tufões, etc.),
de que importa conhecer as condições particulares que lhes deram
origem. Os métodos determinísticos e estatísticos tenderiam a concentrar-se no
comportamento médio e a desprezar os comportamentos extremos, com excepção,
naturalmente dos modelos para extremos. Mas, estes têm
novamente a limitação de concentrarem-se essencialmente nas observações
extremas.
As
figuras apresentadas abaixo tentam mostrar graficamente as ideias
apresentadas atrás, sem que pretendam mostrar, neste momento, a eficiência
de algoritmos particulares.
Figura.
a) realidade não conhecida e apenas disponível parcialmente através
de amostragem; b) transformação das observações da realidade usando
métodos determinísticos – como a amostragem é sempre incompleta, e
os valores erráticos são tomados como desvios devido a variações
locais e problemas relacionados com a amostragem (e.g., contaminação
da amostra, erros analíticos, etc.) a imagem obtida por transformação
pode ser muito distorcida; c) ao incorporar toda a informação contida
nas observações o resultado da interpretação pode ser superior.
Convém
alertar que os algoritmos heurísticos não são uma panaceia.
Quando a informação disponível é escassa, ou o fenómeno pode ser
descrito por modelos simples, não há qualquer necessidade de usar métodos
mais complexos. Pode mesmo acontecer que os modelos mais simples dêem
resultados muito melhores.
Na
sequência introduzem-se algumas definições, apresentando-se depois a
geometria fractal por esta se relacionar com a ponte entre determinismo
e aleatoriedade.
Variável
aleatória e número aleatório
Uma variável aleatória é o resultado numérico da aplicação
de um mecanismo não-determinístico ou de uma experiência não-determinística
que tem como resultado um resultado aleatório. Por exemplo, uma variável
aleatória pode ser usada para descrever o resultado de um jogo com um
dado honesto, com resultados possíveis {1,2,3,4,5,6}, ou para descrever
os resultados de concentração na amostragem de uma área contaminada.
A variável aleatória não assume nenhum valor em particular, não
descreve o resultado de uma amostragem em particular, mas antes descreve
os possíveis, ainda por determinar resultados.
O tratamento clássico de variáveis aleatórias e funções
aleatórias foi já estudado nas disciplinas de probabilidades e estatística
e dispensam mais desenvolvimentos. Pode referir-se apenas que o
tratamento de dado a estas variáveis é diferente na estatística
Bayesiana, estando, no entanto este tema fora do contexto desta
apresentação.
Um número aleatório é um resultado específico de uma variável
aleatória.
Um aspecto
interessante em relação à geração de números aleatórios é a
dificuldade prática de gerar números verdadeiramente aleatórios.
Exemplos de métodos incluem a utilização de números irracionais como
o valor de pi (quociente entre o perímetros e o diâmetro de uma
circunferência), o valor de 2½, log(2), pi2,
log(2)2 . O que torna estes números ainda mais
interessantes é o facto de poderem ser aproximados com boa precisão
por geradores de tipos associados ao ramo de investigação do caos
dinâmico (ver abaixo mais sobre isto).
O valor de
pi pode ser aproximado pela expressão de Bailey et al. (1997), entre
outras:
Mas,
em que sentido é útil esta aproximação que permite calcular o valor
da constante para níveis de precisão muito superiores ao que é
necessário no cálculo, mesmo de engenharia de alta precisão? A
resposta é simples: para tornar os códigos de segurança o mais
seguros possível. Ou seja é fundamental nos algoritmos de
encriptação. Senão veja-se o desenvolvimento, em formato hexadecimal
da expressão acima para os dígitos à direita da vírgula a partir de
diferentes posições (na tabela abaixo indicado pela "position").
O primeiro número indica o valor hexadecimal dos 14 dígitos a partir (incluindo)
do dígito da posição 106
(um milhão de dígitos à direita da vírgula!). Uma vez que é muito
difícil de estimar a sequência exacta de dígitos gerada por um dado
algoritmo, este método pode ser útil para encriptar, bastando assim
que o receptor saiba qual o algoritmo a usar e que lhe seja dada a posição
inicial. Existem actualmente diversos métodos para obter o mesmo
resultado, muitos dos quais por razões óbvias não são publicados!
Fig.
Números aleatórios (Retirado de Bailey et al, 1997)
Para
obter mais informação sobre a geração de números aleatórios
consulte-se "The art of scientifi programming, vol. 2 -
seminumerical algorithms", Donald, E. Knuth, Adison Weley Longman,
Inc, 1998.", ou para uma revisão mais breve a página de David
Bailey.
Processos
estocásticos
Na matemática das probabilidades um processo
estocástico pode ser considerado como uma função aleatória. Quando o
domínio em que a função está definida é
unidimensional (e.g.,
tempo) o processo estocástico é designado uma série temporal; quando
o domínio é de dimensão superior o processo estocástico é designado
um campo aleatório. São exemplos do primeiro as séries temporais
resultantes da medição de precipitação, de concentrações dum
determinado poluente num local (e.g., concentrações de SO2
numa estação), de valores de cotação de acções na bolsa, etc..
São ainda exemplos o movimento Browniano (veja um applet aqui)
e o Random Walk (veja um applet aqui).
As semelhanças entre estes dois processos são mais do que
coincidências. O movimento Browniano descreve o movimento de uma
partícula flutuando numa superfície de um líquido, recebendo
"toques" de outras partículas no líquido. A partícula é
vista como sujeita a uma força aleatória que condiciona o seu
movimento. No caso do Random Walk considera-se que a "partícula"
toma diferentes caminhos, por passos, e que estes passos são dados em
direcções aleatórias. O interessante destes processos é que após um
percurso suficientemente longo a "partícula" terá percorrido
uma trajectória que tem carácter fractal. A definição de fractal
será dada mais abaixo.
São exemplo de campos aleatórios as figuras
estáticas, topografias (paisagens), ou variações de composição de
materiais não homogéneos. Veja as figuras abaixo como exemplo.
|
 a)
|
b)
|
|
Fig.
Campo aleatório:
a)
Exemplo de tessitura de Voronoi (uma tessitura é um conjunto de
figuras que preenchem o espaço sem sobreposições nem vazios,
obtidas por transformação geométrica de uma figura). A
tessitura de Voronoi mais conhecida nas ciências naturais é
designada por Polígonos de Thiessen.
b) Exemplo de campo aleatório
fractal de Mandelbrot |
Utilizam-se usualmente dois algoritmos para obter
séries e campos estocásticos: a) amostrador de Gibbs; b) algoritmo de
Hastings-Metropolis, mas que não são discutidos nesta apresentação.
Vejam-se
como exemplos de campos aleatórios i) a rede hidrográfica criada com um
gerador fractal (figura abaixo), ou ii) os campos de permeabilidade
potencial no aquífero do Escarpão, obtidos por inversão automática de
valores de resistividade eléctrica (fig).
Para
mais informação sobre aplicações fractais em hidrologia ver "Scale
dependence and scale invariance in hydrology, Sposito, G. (Ed.), Cambridge
Univ. Press, 1998", e "Fractal river basins, chance and
self-organization, Rodríguez-Iturbe, I. & Rinaldo, A., Cambridge Univ.
Press, 1997"
4.
Geometria fractal
Sentindo
que a geometria Euclidiana não respondia cabalmente à sensação de
que a natureza não é simplificável até ao limite de assumir formas
regulares, e que as formas não enquadráveis na geometria Euclidiana
são consideradas sem forma ou amorfas, Benoit Mandelbrot decidiu
desenvolver uma nova área específica da geometria para dar resposta a
estes problemas (no final dos anos 60). Ao conjunto de formas
enquadráveis nessa geometria chamou de fractais. De forma simples um
fractal “envolve o acaso e tanto as suas regularidades como
irregularidades são estatísticas. As formas (fractais) tendem a ser
escaláveis, implicando que o grau de irregularidade e/ou fragmentação
é idêntico a todas as escalas” (Mandelbrot, 1967; 1977). Desta
definição simples de fractal ressaltam dois aspectos importantes: i) o
carácter determinístico da teoria; ii) o efeito de escala. Destes dois
aspectos o segundo reflecte algo que foi muito inovador na altura: a
escala de trabalho tem importância, mas pode acontecer que saltando de
uma escala para outra se detecte exactamente o mesmo comportamento
(fractais auto-similares (ou semelhantes) – self-similar;
ou fractais auto-afins – self-affine).
Também reflecte outro aspecto: a escala (entenda-se aqui como régua ou
unidade de medição) com que se trabalha afecta o resultado. Este
último resultado parece estranho à partida para alguém moldado pela
geometria Euclidiana, na qual, como é sabido, o somatório de
fracções de troços, áreas ou volumes complementares tem como
resultado o mesmo valor independentemente da dimensão das fracções.
Na geometria Euclidiana o comprimento de uma fronteira entre países é
sempre a mesma independentemente do tamanho da régua com que se mede.
Acontece que isto não é verdade: se se usar uma régua com tamanho
diferente o comprimento é diferente. Este foi o resultado apresentado
por Mandelbrot como paradigmático do efeito da escala. Veja-se a figura
abaixo (op. cit.) onde são mostrados os tamanhos de fronteiras de
países (Portugal incluído). É clara a linearidade da relação entre
o logaritmo da escala de medição e o logaritmo do comprimento da
fronteira.
|
|
Fig.
Dados empíricos de Richardson – comprimentos de fronteiras (Mandelbrot,
1977).
Na
figura seguinte o efeito da escala é mostrado para uma parte da
fronteira Portuguesa. Quando a régua pequena mede o comprimento do perímetro
da fronteira são contabilizados contornos que passam despercebidos com
a régua maior. No final o comprimento medido com a régua pequena será
maior do que o obtido com a régua maior.
Fig.
Efeito da escala de medida
De
uma forma mais formal, pode definir-se um conjunto fractal de acordo com
|
|
(1)
|
em
que Ni é o número de objectos (troços) com uma dimensão
linear ri, C é uma constante de proporcionalidade, e D é a
dimensão fractal. Quando D é um inteiro a dimensão fractal é
equivalente à dimensão Euclidiana. As dimensões fractais são
usualmente não inteiras (fraccionais), de onde o nome fractal.
A
dimensão fractal pode ser determinada a partir de (1) por
|
|
(2)
|
Na
figura seguintes são mostradas algumas regras conducentes a fractais,
algumas originando dimensões inteiras, outras dimensões fractais. Em
a) a linha é dividida em dois e apenas um dos troços é mantido,
repetindo-se este procedimento muitas vezes (ad
infinitum…). Neste caso, na primeira iteração, i=1, o valor de N1=1
(são retidos 1 segmento), e a dimensão do segmento é r1=1/2;
na segunda iteração, i=2, N2=1 (pela regra), e r2=1/4
(metade do segmento anterior). Substituindo estes valores na expressão
(2), vem
Esta
é a dimensão de um ponto. Repita-se o cálculo para o caso e). A regra
aqui é a seguinte: divida-se o segmento em 3 partes iguais e mantenham-se
os segmentos extremos, repetindo o procedimento muitas vezes. O valor de
N1=2, r1=1/3, N2=4, r2=1/9.
A dimensão fractal vem
Isto
é a dimensão fractal é um fraccionário entre a dimensão de um ponto
(0) e a dimensão de uma recta (1). Esta construção é também
designada de conjunto de Cantor, ou pó de Cantor e representa a
agregação infinita de pontos agrupados. Este tipo de fractal
representa um fenómeno comum nas ciências naturais quando a variável
mostra tendência para “clustering” em escalas diferentes. Isto
acontece, por exemplo, em depósitos mineiros quando áreas mais
mineralizadas contêm dentro outras áreas ainda mais mineralizadas, e
por aí adiante até à escala molecular.
Repita
o cálculo para os restantes exemplos como exercício.
Fig.
Exemplos de fractais (linhas). Retirado de (Turcotte, 1997)
O
mesmo conceito pode ser aplicado a figuras como quadrados, triângulos,
cubos, etc. A figura abaixo mostra uma figura conhecida como tapete de
Sierpinski, cuja regra de geração é semelhante à do conjunto de
Cantor, mas em que cada quadrado é dividido em 9 quadrados iguais,
retirando-se o central. Usando a expressão (2) calcule a dimensão
fractal desta figura (tenha em conta que em vez de usar o comprimento do
segmento passa agora a usar o comprimento do lado) – deve conseguir
chegar ao valor de 1,8928, o que indica que a figura tem dimensão
superior à da linha, mas inferior à do plano. Em relação a este
exemplo repare que as figuras à direita são reproduções da regra a
escalas diferentes. Este é o princípio da auto-semelhança.
Fig.
Tapete de Sierpinski
A
três dimensões aplica-se o mesmo princípio. Veja-se o exemplo do cubo
de Sierpinski, também conhecido como esponja de Mengue, apresentado na
figura seguinte. A regra para obtenção desta figura é também muito
simples: divida-se o cubo em 27 cubos iguais, e retenham-se 20 cubos,
para que no final tenha uma cruz aberta no interior. O processo é mais
simples de compreender pela sequência apresentada na figura. Qual a
dimensão fractal desta figura? Verifique que na segunda iteração são
obtidos 729 cubos, e são retidos 400 (deve obter D=2,727). Calcule
também a dimensão fractal da figura apresentada em b), sabendo que a
regra indica que o cubo é dividido em 8 cubos iguais com r=1/2, dois
cubos diagonais são removidos, pelo que ficam 6; na segunda iteração
são obtidos 64 cubos e retidos 36 (deve obter D=2,585).
|
a) |
|
b)
|
Fig.
Cubo de Sierpinski ou esponja de Mengue. a) resultado ao fim de algumas
iterações; b) processo inicial de geração do cubo de Sierpinski e de
uma outra estrutura tridimensional (Turcotte, 1997).
Considere-se
agora uma figura contínua como o triângulo de Koch, criado pela
seguinte regra: considere-se um triângulo equilátero (N0=3)
com lados de dimensão unitária, r0=1; na primeira iteração
um triângulo com lados de dimensão r1=1/3 são colados no
centro de cada um dos lados do triângulo original, resultando em N=12
lados; repete-se o procedimento, colocando triângulos de lado r=1/9 no
centro de cada um dos lados da figura anterior, resultando em N=48 lados.
Repete-se este procedimento muitas vezes. Veja-se a figura abaixo para
exemplo.
Fig.
Ilha de Koch, também conhecido por floco de neve pela sua semelhança
com este (Turcotte, 1997)
Qual
a dimensão fractal desta figura? Podemos agora usar o comprimento do
perímetro e a dimensão da régua de medida. O perímetro é igual a
|
|
(3)
|
O
que substituindo na expressão (1) dá
|
|
(4)
|
Substituindo
o perímetro na expressão anterior vem
Se
tivéssemos usado a expressão (2) teríamos
Ou
seja o mesmo valor, com seria de esperar. Ficamos então como duas
alternativas de cálculo, sendo que a expressão (4) pode ser mais fácil
de determinar para figuras muito complexas (e.g., para passos de iteração
mais avançados) usando software para cálculo de perímetros de figuras.
Fractais estatísticos
Existem
diferenças fundamentais entre as figuras apresentadas atrás e os casos
reais:
i)
o perímetro das figuras construídas com elementos regulares é
determinístico, enquanto nos casos reais o perímetro (ou outra
qualquer medida) é estatístico;
ii)
ii) o perímetro das figuras é identicamente invariante a todas
as escalas, enquanto nos casos reais o perímetro é estatisticamente
diferente a várias escalas, mas as diferenças não permitem determinar
exactamente a escala;
iii)
enquanto nas figuras construídas o desenvolvimento se pode fazer
a todas as escalas (com um máximo na figura elementar original, mas sem
limite inferior), nos casos reais as escalas têm limites impostos pelas
dimensões físicas (dependendo do caso, podem variar entre a escala de
continentes e a de grãos de areia, portanto cerca de 10 ordens de
grandeza; ou entre a escala do segundo e a de milhões de anos, no caso
de séries temporais, portanto cerca de 17 ordens de grandeza; ou ainda
entre taxas metabólicas do complexo respiratório e a de animais de
grande porte como o elefante, variando cerca de 27 ordens de grandeza
– exemplos destes comportamentos serão apresentados de seguida);
iv)
nos casos reais existem variações estatísticas na medida de
fractalidade.
Mostram-se
de seguida alguns exemplos de fractais estatísticos:
i) Comprimento da costa de um país;
ii) Bacias hidrográficas;
iii)
Hidrogeologia / poluição do solo;
iv)) História de Portugal;
v) Biologia;
vi)
Música.
i) Comprimento da costa
A
invariância de escala foi já apresentada na introdução para a
fronteira de diversos países. Mostram-se na figura abaixo os resultados
de Mandelbrot (1967) para a costa de Inglaterra. Mandelbrot usou a
expressões (3) e (4) para determinar a dimensão fractal, obtendo
D=1,25.
Fig.
Comprimento da costa Inglesa medida com diferentes tamanhos de régua (escalas),
r.
Muitos
outros autores se têm dedicado a avaliar a fractalidade estatística e
as dimensões fractais de perímetros e costas, bem como de outras
estruturas. Na tabela abaixo mostra-se um exemplo de resultados onde se
mostram também os efeitos da escala de medida na dimensão estimada (e
um dos resultados esperados do carácter fractal).
Tabela.
Comprimento da costa de alguns países europeus de acordo com a base
CORINE (fonte: Lamacchia
& Bartlett (2003))
|
País
|
1:100.000
|
1:1.000.000
|
|
Bélgica
|
97.669,478
|
71.841,586
|
|
Alemanha
|
1.863.759,656
|
1.585.966,249
|
|
Dinamarca
|
4.488.425,404
|
3.779.641,433
|
|
Espanha
|
6.566.522,153
|
5.305.636,629
|
|
França
|
7.205.180,882
|
4.738.704,125
|
|
Grécia
|
5.332.934,330
|
4.596.365,770
|
|
Irlanda
|
5.147.530,109
|
3.841.864,583
|
|
Itália
|
7.408.792,354
|
6.187.972,030
|
|
Holanda
|
861.005,147
|
761.169,666
|
|
Portugal
|
923.551,536
|
843.490,142
|
|
Reino
Unido
|
15.910.977,428
|
11.697.812,207
|
|
Total
|
55.806.348,480
|
43.410.464,420
|
ii) Bacias hidrográficas
O
número de trabalhos deste tema é também vasto. Apresenta-se apenas um
exemplo devido a Dodds e Rothman (2001) para a bacia do rio Kansas
(figura abaixo). Foi estudada, entre outros aspectos a relação entre o
comprimento estimado para o troço principal do rio (l)
e a dimensão da malha usada (a).
A dimensão fractal estimada foi de D=1,04±0,02. Note-se a indicação
do intervalo de confiança (95%). Repare-se também que a dimensão
fractal varia com escala – indicando que a invariância de escala dos
fractais estatísticos não é igual em todas as escalas, ou que só é
observável em algumas escalas.
Fig.
Relação entre a unidade de medida (área da malha), a,
e o comprimento do troço principal do rio Kansas, l. Unidades em metros quadrados e metros, respectivamente.
iii)
Hidrogeologia / poluição do solo
O
efeito de escala é um fenómeno observado em várias ciências aplicadas
quando se torna necessário passar de escalas de laboratório para escalas
piloto, ou de campo. Acontece que para algumas variáveis o efeito de
escala continua a fazer-se sentir para diferentes escalas de trabalho. Na
figura abaixo são apresentados resultados para a dispersividade
longitudinal e horizontal transversal, compilados por Gelhar et al. (1992)
para diversos aquíferos, e em sobreposição os resultados obtidos por
Nunes (1998) para o aquífero do Escarpão.
Fig.
Dispersividades
longitudinais versus escala, com classificação de fiabilidade (Gelhar et
al., 1992; Nunes, 1998).
Fig.
Dispersividades
transversais horizontais versus escala, com classificação de fiabilidade
(Gelhar et al., 1992; Nunes, 1998).
iv) História de Portugal
Os
resultados apresentados nesta secção são referentes ao período entre
237 AC e 1719 DC para três tipos de acontecimentos históricos: i)
guerras e batalhas importantes; ii) epidemias importantes (e.g., pestes);
iii) reinados. Procuraram-se identificar as relações de causalidade,
ou de recorrência temporal, isto é, verificar se haveria alguma
periodicidade nos acontecimentos, ou se por detrás de uma aparente
aleatoriedade, se esconderiam relações não visíveis. Na figura
seguinte são apresentados os dados, na forma do somatório de
acontecimentos (parte inferior da figura) e a covariância temporal
feita a espaços de tempo crescentes (i.e, a forma como se correlacionam
os dados para janelas de tempo diferentes), na forma do covariograma
temporal.
Fig. Alguns
eventos na história de Portugal. Em símbolos são apresentados os
variogramas; em linha contínua o somatório das ocorrências.
Para
verificar a fractalidade voltamos a aplicar os logaritmos tanto na
medida usada (o variograma) como na escala (tempo):
Fig. Carácter
fractal de alguns eventos na história de Portugal. Em símbolos vazios
o log(variograma); em símbolos cheios a lacunaridade.
Novamente
se verifica a linearidade entre a escala e a medida. Os valores da
dimensão fractal variam entre D=1,69 para as dinastias (reinados) e
D=1,83 para as epidemias. Isto indica que terão ocorrido eventos na
história Portuguesa, que para além da causalidade normal, têm
relações internas interessantes: entre dois períodos de grande
actividade (bélica ou epidémica) ocorreram outros períodos de menor
actividade, e dentro destes outros, e por aí adiante. Estas relações
têm importância estratégica por dois motivos evidentes: i) os
mercados e os agentes económicos, em posse desta informação, e sendo
ela assumida como prolongável no futuro, podem prever melhor a sua
actividade; ii) pode permitir precaver os efeitos de fenómenos
epidémicos (no nosso tempo ligados normalmente a doenças como a gripe,
doenças infantis; pandemias (e.g., febre das aves, febre
hemorrágica aguda).
v) Biologia
Alguns
trabalhos das ciências da vida têm demonstrado a existência de invariância
estatística de escala em diversos parâmetros: variação da taxa de
metabolismo, do ritmo cardíaco, e do comprimento do genoma, com a massa
do organismo; a variação do número de árvores numa floresta com o diâmetro
do tronco; a variação do número de troncos numa árvore com o diâmetro
dos troncos. São apresentados abaixo exemplos retirados de uma colectânea
de trabalhos realizada por West & Brown (2004).
Fig.
Variação entre a taxa metabólica de alguns animais e a sua massa.
Fig.
Variação entre a taxa metabólica de alguns organismos e a sua massa.
Fig.
a) Variação entre o ritmo cardíaco de alguns animais e a sua massa;
b) variação entre o comprimento do genoma de alguns organismos e a sua
massa.
Fig.
Ritmo cardíaco de um paciente denotando grande variabilidade (de tal
modo que os autores do estudo iniciam o capítulo dizendo: “(…) when
the mean is meanigless”). Na figura de baixo são indicados valores de
dimensão fractal para a série total, com início no tempo zero, e a
linha de baixo a média das dimensões fractais determinadas a partir de
10 tempos iniciais diferentes.
Esta
figura mostra dois aspectos muito importantes: i) a existência de um
comportamento fractal; ii) a existência de um comportamento caótico,
uma vez que o ponto inicial a partir do qual se faz a determinação
afecta a solução final. Este assunto é discutido no próximo capítulo.
Fig.
c) variação entre o número de troncos numa árvore e o diâmetro dos
mesmos; d) variação entre o número de árvores numa floresta e o diâmetro
do tronco
vi)
Música
Também
a música pode ser fractal, ou ter características que a tornam
parecida a fractais:
A
música barroca, principalmente a de J. S. Bach tem uma base matemática,
reflectida em temas musicais que se entrecruzam (contraponto), formando um
todo complexo, e onde a geometria subjacente não é evidente para um
ouvido menos atento. Clique aqui
para ouvir um trecho.
Curiosamente
a música sintetizada com modelos de tipo fractal tem semelhanças
com a música de Bach. Clique aqui
para ouvir um trecho de música feita por computador usando fractais.
Também
na música contemporânea (alternativa) se encontram estas características.
Clique
aqui para ouvir um trecho de uma música de Chemical Brothers. E
depois ouça estes trechos de música sintetizada com modelos fractais (fractalmusician.com).
5.
Sistemas dinâmicos e caos
Uma
solução exibe um comportamento caótico estatístico quando o fenómeno
que lhe dá origem não é previsível. Numa lâmpada de filamento, um
átomo excitado regressa a um estado de menor energia passado um tempo t
(usualmente t=10-8 s), emitindo um fotão. Como resultado dos
princípios da mecânica quântica, este tempo não pode ser determinado
para um átomo em particular; é apenas possível definir um tempo de
transição específico, t,
que descreve a hipótese de um átomo em particular fazer uma transição
de estado num tempo determinado. Como isto é naturalmente válido para
todos os átomos excitados, as fases das ondas são não-correlacionadas.
Assim, a natureza estatística do processo de transição faz com que o
sinal seja incoerente (aleatório). Isto é um caos estatístico.
Uma
solução exibe comportamento caótico determinístico quando: i) as
equações que descrevem o fenómeno são determinísticas, com condições
de fronteira e/ou condições iniciais bem definidas (as equações são
determinísticas e não estatísticas); ii) as soluções com condições
iniciais infinitesimalmente próximas divergem exponencialmente à
medida que as soluções evoluem. Veja-se o exemplo das equações de
Lorenz. O comportamento caótico ocorre apenas em sistemas de equações
não-lineares.
São
exemplos destes sistemas a equação logística de dinâmica de populações
e as equações diferenciais de Lorenz para estimar a convecção térmica
numa camada de um fluído aquecida por baixo (e.g., a troposfera
terrestre, ou o manto terrestre).
Equação logística (ou
modelo de Verhulst)
|
|
(5)
|
Este
é o modelo simples para a dinâmica de populações com x
representando a população no tempo t,
o primeiro termo do lado direito corresponde aos nascimentos, e o
segundo às mortes. O parâmetro k
é o tempo característico e xe
é a população representativa.
Introduzindo
as variáveis adimensionais
o modelo toma a forma da
expressão (6).
|
|
(6)
|
Ou
ainda, na forma discreta obtém-se o mapa logístico:
|
|
(7)
|
Em
que a é o “potencial
biótico”, variando usualmente entre 0 e 4. Esta equação quadrática
de recorrência tem um comportamento de muito difícil previsão. Na
realidade apenas se conhecem soluções exactas para a=-2,
a=2, e a=4.
As
primeiras iterações do mapa logístico (7) vêm
O
andamento para as primeiras trinta iterações é mostrado na figura
seguinte para um valor de a=2,0.
Fig.
Mapa logístico: estabilização da população (a=2,0).
Para
demonstrações interactivas clique aqui
ou aqui.
Interessante
é o comportamento deste modelo para valores de a
superiores a 3: a solução deixa de ser única para as mesmas condições
iniciais, sendo o comportamento caótico em parte deste domínio. Veja-se
uma representação gráfica deste efeito na figura seguinte.
Fig.
Mapa logístico: efectivos da população em regime caótico (a=3,8).
Para
valores de a entre 1 e 3 a população estabiliza num valor fixo. Para a=3 a população oscila entre valores máximos e mínimos,
atingindo um máximo num ano (iteração) e um mínimo no seguinte. Para
valores de 3,45 o período duplica: passam a ocorrer máximos apenas de
4 em 4 anos (iterações). Entre a=3,45
e a=3,57 o período aumenta a uma taxa rápida: duplicando para a=3,54,
a=3,564, a=3,569. A partir
de a=3,57 o comportamento é
caótico, ainda que ocorram regiões periódicas. Use a segunda ligação
interactiva sugerida acima para verificar este comportamento.
Uma
outra forma de olhar para o comportamento do mapa logístico é usando o
diagrama de bifurcação. A partir do início da primeira bifurcação
passam a ocorrer duplicações dentro das duplicações. Ora este
comportamento foi identificado acima como sendo fractal. Olhando para o
diagrama da área bifurcada e caótica pode ampliar-se o diagrama de
escala para escala mantendo o mesmo desenho. A ampliação necessária
para observar esta repetição é de 4,669. O interessante em relação
a este valor é que ele é constante para todos os sistemas não
lineares que exibam bifurcação, isto é, é universal. Acontece também
no sistema de equações não lineares de Lorenz.
Fig.
Diagrama de bifurcação
Modelos
mais complexos também demonstraram comportamento caótico para condições
especiais: relações predador-presa (Rai & Hupadyhay, 2004);
mutualismo, competição e predação (Shin, 1997).
Equações de Lorenz:
em
que σ
é o número de Prandtl e
r é o número de Reynolds. σ, r, b > 0,
usualmente σ = 10, b
= 8 / 3 e r é variável. O sistema exibe comportamento caótico
para r = 28, mas exibe órbitas periódicas em laço
para outros valores de r.
Deixa-se para demonstração o carácter caótico destas equações.
Aproveite
para ver aqui uma
demonstração de um sistema caótico de moinho de água, onde o
movimento da nora é imprevisível (copie e descomprima para uma
directoria).
6.
Alguns métodos para resolução de problemas complexos
Clique
aqui.
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M. R. & Bartlett, D. (2003), Potential of GIS in coastal boundaries
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Fifth International Symposium on GIS and Computer
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17th -18th October 2003, Genova, Italy.
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Outra
bibliografia aconselhada:
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