Problemas (PDF)

  1. Metodologia
  2. Trabalho Prático 00
  3. Trabalho Prático 01
  4. Trabalho Prático 02
  5. Trabalho Prático 03
  6. Trabalho Prático 04
  7. Trabalho Prático 05
  8. Tabelas Estatísticas

     


Metodologia

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Trabalho Prático 00

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Trabalho Prático 01

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Trabalho Prático 02

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Trabalho Prático 03

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Trabalho Prático 04

1.    Uma cadeia de distribuição de produtos biotecnológicos está a monitorar os embarques de material através da sua rede de distribuição. Para o efeito, os erros detectados na entrega e/ou na documentação acompanhante estão a ser registados numa base semanal. Semanalmente, eram aleatoriamente seleccionadas e examinadas 50 encomendas, e os erros registados. Na tabela abaixo figuram os dados de 20 semanas. 

a.   Determine o valor central e os limites de controlo para uma carta u. [LC»0,074; LSC=0,1894, LIC»0]

b.   Desenhe a carta e tire conclusões. 

  Nº da semana

Tamanho da amostra

Nº total de não-conformidades

1

50

2

2

50

3

3

50

8

4

50

1

5

50

1

6

50

4

7

50

1

8

50

4

9

50

5

10

50

1

11

50

8

12

50

2

13

50

4

14

50

3

15

50

4

16

50

1

17

50

8

18

50

3

19

50

7

20

50

4


 

2.    Uma empresa fabrica caixas plásticas para as CPU’s de computadores pessoais por um processo de moldagem por injecção. Periodicamente, são recolhidas amostras de 5 artigos do processo, registando-se o número de não conformidades nelas encontradas. Na tabela abaixo figuram os dados de 25 amostras. 

a.   Determine o valor central e os limites de controlo para uma carta u. [LC»0,528; LSC=1,5, LIC»0]

b.   Identifique os pontos fora de controlo. Caso seja pertinente, calcule os limites de controlo revistos. [Amostras nº 14 e nº 23 fora de controlo; LC»0,426; LSC=1,3, LIC»0]

c.    Suponha que em vez de amostras de 5 caixas se tinham recolhido amostras de 10 caixas. Repita as alíneas a) e b) e comente. [a) LC»0,264; LSC=0,75, LIC»0; b) Amostras nº 14 e nº 23 fora de controlo; LC»0,213; LSC=0,65, LIC»0] 

  Nº da amostra

Tamanho da amostra

Nº total de não-conformidades

1

5

3

2

5

2

3

5

0

4

5

1

5

5

4

6

5

3

7

5

2

8

5

4

9

5

1

10

5

0

11

5

2

12

5

3

13

5

2

14

5

8

15

5

0

16

5

2

17

5

4

18

5

3

19

5

5

20

5

0

21

5

2

22

5

1

23

5

9

24

5

3

25

5

2

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Curvas Características de Operação e Índices de Qualidade

1.    Considere o plano de amostragem simples em que n=50, c=1 e N=2000.

a.   Sem utilizar tabelas, estime as probabilidades de aceitação de lotes com 0,4, 2, 4, e 6% de defeituosos, respectivamente. [0,9824, 0,7358, 0,4060 e 0,1992, respectivamente]

b.   Verifique agora os valores que calculou, recorrendo às tabelas apropriadas.  

2.    Um plano de amostragem tem n=110 e c=3. Sabe-se que o tamanho do lote é elevado quando comparado com o tamanho da amostra.

a.   Usando a tabela estatística apropriada, estime as probabilidades de aceitação de lotes com 0,5, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 8% de defeituosos. [0,998, 0,974, 0,819, 0,581, 0,359, 0,202, 0,105, 0,025, respectivamente]

b.   Desenhe a curva CO para este plano de amostragem.

c.    Estime os valores aproximados da percentagem de defeituosos a que correspondem valores de Pa iguais a 0,95, 0,50 e 0,10, respectivamente. Que nome especial têm o primeiro e o terceiro destes valores da percentagem de defeituosos? [Os valores podem ser lidos directamenete na curva CO, e são 1,3, 3,6  e 6,6%, respectivamente (Poderiam também ser achados na Tabela das Distribuições de Poisson Acumuladas). Chamam-se NQA e LTPD, respectivamente] 

3.    Considere o plano de amostragem simples em que n=75, c=1 e N=1500.

a.   Estime p0,95, p0,50 e p0,10 (% de defetuosos dos lotes cujas probabilidades de aceitação são 0,95, 0,50 e 0,10, respectivamente). [Usando tabelas, encontra-se 0,5, 2,24 e 5,19%, respectivamente]

b.   Estime a Pa de um lote com 2% de defeituosos. [0,558] 

4.    Considere o plano de amostragem simples em que n=75, c=1 e N=2000.

a.   Estime as Pa’s de lotes com 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1,0, 1,2, 1,4, 1,6, 1,8, 2,0, 2,1, 2,2, 2,3, 2,4, 2,5, 3,0, 3,5, 4,0, 4,5 e 5% de defeituosos. [Usando a aproximação de Poisson, encontra-se 0.990, 0,963, 0,925, 0,878, 0,827, 0,773, 0,717, 0,663, 0,610, 0,558, 0,533, 0,509, 0,486, 0,463, 0,441, 0,343, 0,263, 0,199, 0,150, 0,112,  respectivamente]

b.   Esboçe a Curva da Qualidade Média Resultante (QMR), e estime o Limite da Qualidade Média Resultante (LQMR). [LQMR»1,12%] 

5.    Um fabricante de artigos eléctricos recebe componentes de três fornecedores diferentes. A sua prática é seleccionar dos lotes submetidos uma amostra aleatória representando 10% do tamanho do lote, e rejeitá-los quando encontra neles uma ou mais peças defeituosas. Suponha que os fornecedores A, B e C submeteram componentes em lotes de 100, 250 e 1000 artigos, respectivamente.

a.   Para cada um dos fornecedores, estime p0,95, p0,50 e p0,10. [A partir das tabelas da Poisson acumulada, e fazendo as interpolações necessárias, estimam-se os seguintes valores: Fornecedor A-: 0,52%, 6,94%, 23,1%; Fornecedor B- 0,21%, 2,78%, 9,24%; Fornecedor C- 0,052%, 0,69%, 2,31%]

b.   Considera a metodologia usada pelo fabricante correcta? Justifique. [É incorrecta: lotes com um nível de qualidade muito diferente são aceites com idêntica probabilidade. O nível de qualidade aceitável do fornecedor A (NQAA=0,52%)é cerca de 10 vezes superior ao do fornecedor C (NQAC=0,052%). O interesse do fabricante seria manter o mesmo NQA para todos os fornecedores.]

c.    Calcule a probabilidade de aceitação de um lote com p=3% de defeituosos oriundo de cada um dos três fornecedores. [Utilizando a tabela da Poisson acumulada, conclui-se que um lote com 3% de defeituosos é aceite em 74% das vezes no caso do fornecedor A, 47% das vezes no caso do fornecedor B e em apenas 5% das vezes no caso do fornecedor C. Mais uma vez se comprova que a metodologia utilizada pelo fabricante é inaceitável!]  

6.    Considere os seguintes dois planos de amostragem simples:

i.   N=5000, n=50, c=1;

ii. N=5000, n=100, c=2.

Apresentam-se abaixo as respectivas Curvas Características de Operação (curvas CO) e Curvas da Qualidade Média Resultante (curvas QMR).

a.   A partir das curvas CO, estime os valores aproximados de NQA e LTDP. Assuma que os valores dos riscos do produtor e do consumidor são iguais a 5% e 10%, respectivamente.  [Plano (i): NQA»0,8% e LTPD»8%; Plano (ii): NQA»0,9% e LTPD»5,4%]

b.   A partir das curvas QMR, estime os valores do Limite da Qualidade Média Resultante (LQMR) e da percentagem de defeituosos para a qual QMR atinge um máximo. [Plano (i): LQMR»1,7 100p»3,1%; Plano (ii): LQMR»1,4 e 100p»2,2%]

 

 

 

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Tabelas da Norma MIL-STD-105E (ANSI/ASQC Z 1.4; ISO 2859)   

1.    Caracterize os seguintes planos de amostragem para aceitação, regidos pela Norma MIL-STD-105E: 

a.   Amostragem simples, Nível II, inspecção normal, N=1000, NQA=1,0. [Letra código J, n=80, Ac=2, Re=3]

b.   Amostragem simples, Nível III, inspecção rigorosa, N=5000, NQA=1,5. [Letra código M, n=315, Ac=8, Re=9]

c.    Amostragem dupla, Nível I, inspecção reduzida, N=1000, NQA=1,0. [Letra código G; 1ª amostra: n=13, Ac=0, Re=2; 2ª amostra: n=26, Ac=0, Re=2]

d.   Amostragem dupla, Nível III, inspecção rigorosa, N=5000, NQA=1,5. [Letra código M; 1ª amostra: n=200, Ac=3, Re=7; 2ª amostra: n=400, Ac=11, Re=12]

e.   Amostragem múltipla, Nível I, inspecção normal, N=5000, NQA=1,0. [Letra código J; 1ª amostra: n=20, Ac=#, Re=2; 2ª amostra: n=40, Ac=0, Re=3; 3ª amostra: n=60, Ac=0, Re=3; 4ª amostra: n=80, Ac=1, Re=4; 5ª amostra: n=100, Ac=2, Re=4; 6ª amostra: n=120, Ac=3, Re=5; 7ª amostra: n=140, Ac=4, Re=5] 

2.    Dos seguintes planos de amostragem, qual é o que oferece a menor protecção contra lotes que possuem 1% de defeituosos:

A.      n=125, Ac=3, Re=4;

B.         n=200, Ac=3, Re=4;

C.       n=200, Ac=2, Re=3;

D.      n=125, Ac=2, Re=3 ? [Plano A, porque tem a maior Probabilidade de Aceitação (A:Pa=0,9615; B:Pa=0,857;C:Pa=0,677; D:Pa=0,0,868)] 

3.    Num processo de controlo por amostragem regido pela norma MIL-STD-105E, foi utilizada uma amostragem simples, nível de inspecção II, e NQA=4%, sendo o tamanho do lote igual a 2500. 

a.   Caracterize os planos de amostragem para as situações de inspecção normal, inspecção rigorosda e inspecção reduzida. [Letra código K; inspecção normal: n=125, Ac=10, Re=11; inspecção rigorosa: n=125, Ac=8, Re=9; inspecção reduzida: n=50, Ac=5, Re=8]

b.   Utilize tabelas da Lei de Poisson Acumulada para calcular as probabilidades de aceitação de um produto com 4% de defeituosos, sob inspecção normal, inspecção rigorosa e inspecção reduzida. [0,986, 0,932 e 0,983, respectivamente]

c.    Assuma que está a ser aplicada uma inspecção normal, nas condições estipuladas no plano de amostragem supracitado. Uma série de lotes com 8% de defeituosos é submetida para aceitação. Qual é o  valor aproximado da probabilidade de ser necessária uma mudança para inspecção rigorosa após a ocorrência dos dois primeiros lotes com aquelas características? (Nota: admita que não ocorreram rejeições nos quatro lotes precedentes) [0,1739]

d.   Assuma que está a ser aplicada uma inspecção rigorosa nas condições da alínea c). Após a rejeição de um lote, a qualidade do produto melhora até ao ponto em que os lotes só têm agora 4% de não- conformes. Qual é a probabilidade aproximada de a inspecção normal voltar a ser implementada após os próximos cinco lotes deste tipo? [0,7032]

e.   Suponha que um lote com 8% de não-conformes é submetido a inspecção reduzida, nas condições estipuladas no plano de amostragem do problema. Utilize tabelas da Lei de Poisson Acumulada para calcular as probabilidades de que:

i.   o lote seja aceite e a inspecção reduzida continuada; [0,785]

ii. o lote seja aceite, mas a inspecção normal seja retomada; [0,164]

iii.      o lote seja regeitado. [0,051]

4.    Num processo de aceitação por amostragem regido pela norma MIL-STD-105E, foi utilizada uma amostragem simples, nível de inspecção II, e NQA=0,4%, sendo o tamanho do lote igual a 1500. 

a.   Caracterize os planos de amostragem para as situações de inspecção normal e inspecção rigorosa. [Letra código K; inspecção normal: n=125, Ac=1, Re=2; inspecção rigorosa: n=200, Ac=1, Re=2]

b.   Assuma que, para a situação descrita, o processo tem estado a operar em regime de inspecção normal e que os últimos cinco lotes inspeccionados foram aceites. De repente, a qualidade dos lotes muda para 1,6% de não-conformes. Calcule:

i.   a probabilidade aproximada de que o próximo lote a ser inspeccionado seja aceite; [0,406]

ii.  a probabilidade de que se torne necessário mudar de inspecção normal para inspecção apertada dentro dos próximos cinco lotes a serem inspeccionados. [0,9083]

c.    Suponha que, nas condições acima descritas, o processo está agora sob inspecção apertada. Entretanto, foram tomadas medidas correctivas, por tal forma que a média de não-conformes baixou para 0,4%, o valor do NQA. O último lote inspeccionado foi rejeitado.

i.   Calcule a probabilidade aproximada de que o próximo lote a ser inspeccionado seja aceite; [0,809]

ii.  Calcule a probabilidade de que a inspecção mude de apertada para normal no âmbito dos próximos cinco lotes a serem inspeccionados. [0,3465]

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Revised: 01/29/07.